Приводимое ниже решение задачи о том, как пересечь пустыню, заимствовано из журнала Eureka, издаваемого студентами-математиками университета в Кеймбридже (Массачусетс). Назовем «единицей» расстояние в 500 миль, одной заправкой — количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и рейсом — поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой.
Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 1+1/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют (на это уходит 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки и возвращается назад. Его снова полностью заправляют (на что уходит еще 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки (таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать еще расстояние в 1 единицу.
Три заправки позволят грузовику проехать расстояние в 1+1/3+1/5 единицы, причем для этого потребуется совершить девять рейсов.
Сначала на расстоянии 1/5 единицы от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя заправка) и прибывает к первому хранилищу, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уже имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти еще 1+1/3 единицы расстояния (как это сделать, мы только что объяснили).
Нам осталось еще ответить на второй вопрос о минимальном количестве бензина, необходимом для того, чтобы грузовик мог проехать 800 миль. Три заправки, как мы только что выяснили, позволяют грузовику покрыть расстояние в 766+2/3 мили (1+1/3+1/5 единицы), поэтому на расстоянии 33+1/3 мили (1/15 единицы) от пункта отправления необходимо построить еще одно (третье) бензохранилище. За пять рейсов экипаж грузовика сможет построить это хранилище и завезти в него столько горючего, что, когда в конце седьмого рейса грузовик поравняется с третьим хранилищем, общее количество бензина в его баках и в хранилище составит три заправки. Как мы уже знаем, этого количества топлива достаточно для того, чтобы грузовик смог пройти оставшееся расстояние в 766+2/3 мили. На семь рейсов, совершенных между пунктом отправления и вновь построенным бензохранилищем, израсходовано 7/15 заправки. Трех оставшихся заправок как раз достаточно для того, чтобы проехать оставшуюся часть пути. Таким образом, на весь путь будет израсходовано 3+7/15, или больше 3,46, заправки. Всего потребуется совершить шестнадцать рейсов.
Рассуждая в том же духе, можно показать, что, имея четыре заправки, грузовик сумеет проехать расстояние в 1+1/3+1/5+1/7 единицы. На границах отрезков пути длиной в 1+1/3, 1/5 и 1/7 следует расположить бензохранилища. С увеличение числа заправок этот бесконечный ряд расходится, поэтому грузовик сможет пересечь пустыню любой ширины. Если ширина пустыни 1000 миль, то для преодоления этого расстояния потребуется построить 7 бензохранилищ, совершить 64 рейса и израсходовать 7,673 заправки бензина.
В связи с этой задачей редакция получила сотни писем с общими решениями и интересными замечаниями. Сесил Дж. Фил-
линс, профессор математики Флоридского университета, следующим образом сформулировала существо дела.
Общее решение задачи дается формулой:
d=m(1+1/3+1/5+1/7+...),
где d — ширина пустыни, которую необходимо пересечь, m — число миль, отнесенных к одной заправке бензина. Число бензохранилищ, которое необходимо построить, на единицу меньше числа членов в отрезке ряда, который следует взять для получения данного d. На поездки между любыми двумя станциями расходуется одна заправка. Поскольку ряд расходится,метод позволяет преодолеть пустыню любой ширины, хотя необходимое количество бензина с увеличением расстояния возрастает экспоненциально.
Если грузовик в конце путешествия возвращается в исходный
пункт, то формула имеет вид:
d=m(1/2+1/4+1/6+...).
Этот ряд также расходится, и свойства решения аналогичны свойствам решения для случая, когда грузовик обратно не возвращается.